SUBIECTUL I

ex 1 ecuații cu numere complexe sau problema de numarat numere dintr-un interval bla bla bla $$ i^2=-1 $$ $$(a \pm b)^2=a^2 \pm 2ab + b^2 $$ $$(a-b)(a+b)=a^2-b^2 $$ $$ z=a+bi; \bar{z}=a-bi; $$ $$ |z|=\sqrt{a^2+b^2} $$ $$ M=\left \{ x ∈ N \ sau \ Z| ceva \ expresie < sau > \ decat \ ceva \right \}$$ progresii aritmetice $$a_n=mr+a_v \ unde \ m+v=n $$ $$ a_m={a_{m+n}+a_{m-n} \over 2} $$ progresii geometrice $$b_n=q^{m}b_v \ unde \ m+v=n $$ $$ b_m= \sqrt{b_{m+n}b_{m-n}} $$ ex 2 cu functi sa inlocuiesti intr-o ecuatie de grad 2 $$ ax^2+bx+c$$ $$ \Delta=b^2-4ac $$ $$A(x, y) =========> f(x)=y $$ $$x_v=-{b \over 2a} $$ $$y_v=-{\Delta \over 4a} $$ ex 3 aici sunt doar ecuatii in care trebuie sa-l afli pe x, aici trebuie sa puneti la inceput conditile de la radical sau logaritm si dupa verificati solutile $$ \sqrt[m]{x} \ unde \ m \ este \ par \ Conditie: \ x \ge 0 $$ $$ log_ab \ Conditie: \ a>0 \ si \ a \ne 1 \ si \ b>0 $$ ex 4 probleme de numarare si cu probabilitati sau cu binomul lui newton $$ P={numar \ cazuri \ favorabile \over numar \ cazuri \ posibile} $$ $$numar \ submultimi=2^n $$ $$ n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \dotsc \cdot n $$ $$ C _{n}^{m}={n! \over (n-m)!m!} $$ $$ A _{n}^{m}={n! \over (n-m)!} $$ $$numar \ submultimi \ cu \ m \ elemente \ dintr-o \ multime \ cu \ n \ elemente = C _{n}^{m}$$ $$ (a+b)^n= \displaystyle \sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^k $$ $$ T_{k+1}=C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k} $$ probleme de numere in care trebuie sa fati cu bara si sa fi atent
ex 5 vectori sau coordonate $$ {x-x_A \over x_B-x_A}={y-y_A \over y_B-y_A} $$ $$ y=mx+n \ unde \ m \ este \ panta \ dreptei $$ $$conditie \ ca \ doua \ drepte \ sa \ fie \ paralele: \ m_{d1}=m_{d2} $$ $$conditie \ ca \ doua \ drepte \ sa \ fie \ perpendiculare: \ m_{d1} \times m_{d2}= -1 $$ $$AB=\sqrt {(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2} $$ $$Chasles \ intr-un \ triunghi \ ABC \ : \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} $$ $$Chasles \ intr-un \ paralelogram \ ABCD \ : \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \ \ \ \ \ \ \ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} \ \ \ \ \ \ \ \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC} $$ $$ \overrightarrow {AB} = -\overrightarrow{BA} $$ $$ \overrightarrow {AM} ={\overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {AC} \over 1+k} \ unde \ k={BM \over MC} \ cand \ avem \ k=1 \ avem \ teorema \ medianei \ scrisa \ vectorial \ \overrightarrow {AM} ={\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \over 2} $$ $$ \overrightarrow {AB}{(x_B-x_A, \ y_B-y_A)} $$ $$ Conditie \ triunghi \ isoscel: \ doua \ laturi \ sa \ fie \ egale $$ $$ Conditie \ triunghi \ echilateral: \ toate \ laturile \ sa \ fie \ egale $$ $$ Conditie \ triunghi \ dreptunghic: \ sa \ se \ respecte \ teorema \ lui \ Pitagora: \ a^2=b^2+c^2 $$ ex 6 trigonometrie $$ a=BC \ \ \ \ \ b=AC \ \ \ \ \ c=AB $$ $$cos^2x+sin^2x=1 $$ $$sinx={cateta \ opusa \over ipotenuza}$$ $$cosx={cateta \ alaturata \over ipotenuza}$$ $$tgx={cateta \ opusa \over cateta \ alaturata}$$ $$ctgx={cateta \ alaturata \over cateta \ opusa}$$ $$sin(-x)=-sinx \ functie \ impara$$ $$cos(-x)=cosx \ functie \ para$$ $$tg(-x)=-tgx \ functie \ impara$$ $$ctg(-x)=-ctgx \ functie \ impara$$ $$cos(x \pm y)=cosxcosy \mp sinxsiny $$ $$sin(x \pm y)=sinxcosy \pm cosxsiny $$ $$cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)= 2cos^2(x)-1=1-2sin^2(x) $$ $$sin(2x)=2sinxcosx $$ $$ teorema \ cosinusurilor: \ a^2=b^2+c^2-2 \cdot b \cdot c \cdot cosA $$ $$ teorema \ sinusului: \ A_{\Delta ABC}={a \cdot c \cdot sinB \over 2} $$ $$ A={abc \over 4R} $$ $$ {a \over sinA}={b \over sinB}={c \over sinC}=2R $$ $$ \pi \ corespunde \ la \ 180° $$ $$ alea \ cu \ \alpha \ pentru \ transformari \ in \ cadranul \ I $$

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

210°

225°

240°

270°

300°

315°

330°

360°

π/6

π/4

π/3

π/2

2π/3

3π/4

5π/6

7π/6

5π/4

4π/3

3π/2

5π/3

7π/4

11π/6

2π

sinx

1/2

√2/2

√3/3

√3/2

√2/2

1/2

-1/2

-√2/2

-√3/2

-1

-√3/2

-√2/2

-1/2

cosx

√3/2

√2/2

1/2

-1/2

-√2/2

-√3/2

-1

-√3/2

-√2/2

-1/2

1/2

√2/2

√3/2

tgx

√3/3

√3

-√3

-1

-√3/3

√3/3

√3

-√3

-1

-√3/3

ctgx

√3

√3/3

-√3/3

-1

-√3

√3

√3/3

-√3/3

-1

-√3

SUBIECTUL II

ex 1 algebra a XI a
a) determinant

b) tot ceva cu determinant sau ceva cu sistem de ecuatii care se rezolva cu cramer
conditie ca sistemul sa fie compatibil determinat: detA diferit de 0, daca detA este 0 atunci sitemul este compatibil nedeterminat si ca sa fie incompatibil trebuie sa gasesti o relatie ce nu are sens exemplu: 87=69
la sistem compatibil nedeterminat notezi o valoare in functie de alpha si le scrii pe celelate in functie de alfachim $$ \begin{cases} ax+by+cz=w_1 \\ dx+ey+fz=w_2 \\ gx+hy+iz=w_3 \end{cases} ⇔ \left| \begin{array}{ccc|c} a&b&c&w_1\\ d&e&f&w_2\\ g&h&i&w_3 \end{array} \right| $$ daca sistemul este compatibil atunci solutiile problemei sunt: $$ X={\Delta X \over detA} $$ $$ Y={\Delta Y \over detA} $$ $$ Z={\Delta Z \over detA} $$ unde: $$ \Delta X= \left| \begin{array}{ccc} w_1&b&c\\ w_2&e&f\\ w_3&h&i \end{array} \right| $$ $$ \Delta Y= \left| \begin{array}{ccc} a&w_1&c\\ d&w_2&f\\ g&w_3&i \end{array} \right| $$ $$ \Delta Z= \left| \begin{array}{ccc} a&b&w_1\\ d&e&w_2\\ g&h&w_3 \end{array} \right| $$ c) aici nu se aplica de regula formule directe si se folosesc mai mult suste: sa demonstrezi ca solutiile sunt in progresie aritmetica, ca solutiile sunt numere intregi etc .
ex 2 legi de compozitie
a) calcul brut
b) de regula trebuie sa-l gasesti pe x sau sa demonstrezi ca legea este comutativa, are element neutru sau este simetrizabila $$ Conditie ca o lege "*" sa fie comutativa: x*y=y*x $$ $$Conditie ca o lege "*" sa aiba elemente neutru: x*e=e*x=x $$ $$Conditie ca o lege "*" sa fie simetrizabila: x*x'=x'*x=e $$ c) la c difera dar de regula trebuie demonstrata o inegalitate sau altceva

Subiectul III

ex 1 analiza a XI a
a) de calculat o derivata si de a o descompune pana ajungi la forma din cerinta $$ [f(u(x))]'=f'(u(x))u'(x) $$ $$ [af(x)]'=af'(x) $$ $$ [f(x) \pm g(x)]'=f'(x) \pm g'(x) $$ $$ [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) $$ $$ \left[{f(x) \over g(x)} \right]'={f'(x)g(x)-f(x)g'(x) \over g^2(x)} $$ $$ c'=0 $$ $$ (x^n)'=nx^{n-1} \ pentru \ oricare \ ar \ fi \ n \ numar \ real $$ $$ (a^x)'=a^xlna \ caz \ special \ pentru \ a=e \ \ \ \ (e^x)'=e^x$$ $$ (log_{a}x)'={1 \over xlna} \ caz \ special \ pentru \ a=e \ \ \ (lnx)'={1 \over x} $$ $$ (sinx)'=cosx $$ $$ (cosx)'=-sinx $$ $$ (tgx)'= {1 \over cos^2x} $$ $$ (ctgx)'=-{1 \over sin^2x} $$ $$ (arcsinx)'={1 \over \sqrt{1-x^2}} $$ $$ (arccosx)'=-{1 \over \sqrt{1-x^2}} $$ $$ (arctgx)'={1 \over {1+x^2}} $$ $$ (arcctgx)'=-{1 \over {1+x^2}} $$ b) limite, asimptote, pante si de astea $$Conidtie \ asimptota \ orizontala: \lim_{x\to \pm \infty}f(x)=constanta $$ $$Conidtie \ asimptota \ oblica: \lim_{x\to \pm \infty}f(x)= \pm \infty \ iar \ f(x)=mx+n \ unde \ m=\lim_{x\to \pm \infty}{f(x) \over x} \ iar \ n=\lim_{x\to \pm \infty}(f(x)-mx) $$ $$Conidtie \ asimptota \ verticala: \lim_{x\to \pm a}f(x)= \pm \infty $$ $$Cand \ f'(x)>0 \ atunci \ f(x) \ este \ crescatoare \ pe \ intervalul \ ala \ atunci, \ cand \ f'(x)< 0 \ atunci \ f(x) \ este \ descrescatoare \ pe \ intervalul \ ala, \ si \ cand \ f'(x)=0 \ avem \ punct \ de \ extrem \ local \ doar \ daca \ derivata \ isi \ schimba \ semnul $$ $$ ecuatie \ unei \ tangente \ intr-un \ punct \ x_0: y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0) \ panta \ m=f'(x_0) $$ $$ \lim_{x\to \pm a}{f(x) \over g(x)}=\lim_{x\to \pm a}{f'(x) \over g'(x)} \ atunci \ cand \ avem \ cazurile \ {0 \over 0} \ si \ {\infty \over \infty} \ (l'Hôpital) $$ $$ 1^{\infty} \ f(x)->1 \ si \ g(x)-> \infty \lim_{x\to \pm a}[f(x)]^{g(x)}=\lim_{x\to \pm a}[1+f(x)-1]^{g(x)}=\lim_{x\to \pm a}e^{g(x)(f(x)-1)} $$ c) la ce cam cere aceleasi lucruri sau late chestii care nu au o formula standart
ex 2
a)integrale definite $$ \int_a^{b}f(x)dx=F(x) |_a^{b}=F(b)-F(a)$$ $$ \int u'(x)f(u(x))dx=F(u(x))+\mathscr C $$ $$ \int g(x)f'(x)dx=g(x)f(x)-\int g'(x)f(x)dx $$ $$ \int [Af(x) \pm Bg(x)]dx= A\int f(x)dx \pm B\int g(x)dx $$ $$ \int e^xdx=e^x+ \mathscr C $$ $$ \int x^ndx={x^{n+1} \over n+1}de+\mathscr C \ pentru \ n \ne -1 $$ $$ \int {1 \over x+a}dx=ln|x+a|+\mathscr C $$ $$ \int {1 \over x^2+a^2}dx={1 \over a}arctg \Bigl({x \over a} \Bigr) +\mathscr C \ pentru \ a \ne 0 $$ $$ \int {1 \over x^2-a^2}dx={1 \over 2a}ln \Bigl({x-a \over x+a} \Bigr)+\mathscr C \ pentru \ a \ne 0 $$ $$ \int {1 \over {\sqrt{a^2-x^2}}}dx=arcsin \Bigl({x \over a} \Bigr)+\mathscr C \ pentru \ a \ne 0 $$ $$ \int {1 \over {\sqrt{x^2 \pm a^2}}}dx=ln {(x + \sqrt{x^2 \pm a^2})}+\mathscr C \ pentru \ a \ne 0 $$ $$ \int {sinxdx}= -cosx+\mathscr C $$ $$ \int {cosxdx}= sinx+\mathscr C $$ $$ \int {{1 \over cos^2x}dx}=tgx+\mathscr C $$ $$ \int {{1 \over sin^2x}dx}=-ctgx+\mathscr C $$ b) la fel
c) de cele mai multe ori sa demonstrezi ca I_n tinde la 0 cand n tinde la infinit $$ exemplu \ I_n= \int_0^{1}x^nf(x)dx $$ $$ mereu \ I_n>0 \ asa \ pun \ ei \ sa \ nu \ ne \ deranjam \ noi $$ $$ si \ mereu \ va \ iesi \ x^nf(x)< x^n \ de \ acolo \ integrezi \ si \ cu \ teorema \ celor \ doi \ jandarmi \ iese $$ $$ 0< I_n < {1 \over n+1} ( n+1 \ de \ regula) \ aplici \ limita \ si \ iese $$